e⁻² ≈ 0.1

אהלן חברים, היום נדבר על עובדה מרתקת שכולנו כמובן נתקלים בה בחיי היומיום, ונוגעת לחיים של כולנו, והיא
e^-2 ≈ 0.1
או בעברית: 10% מהאנשים יצטרכו לעבוד פי שתיים יותר קשה, סתם בגלל שהיה להם מזל רע.

נסביר: יהי קסי משתנה מקרי מתפלג גיאומטרית עם פרמטר p, ותהי פסי התוחלת שלו. אזי
סתאאאם, צוחק איתכם. כאילו, בפוסט יש קצת מתמטיקה, אבל גם אם מדברים על מתמטיקה, אפשר לעשות את זה כמו בני אדם. התאמצתי ממש שהפוסט יהיה כמה שיותר נגיש לכם אוכלוסיית הקוראים שלי. אז בואו הישארו איתי גם כשאני חופר על הסתברויות, בסוף מגיעים לתובנה עמוקה על החיים 🙂

בואו נדמיין אדם שמטיל מטבע, עד שהוא מקבל עץ בפעם הראשונה. הסיכוי לקבל עץ בהטלה ספציפית הוא חצי, ולכן נצפה שנצטרך להטיל את המטבע בערך פעמיים עד שנקבל עץ בפעם הראשונה [1].
אותו הגיון נכון, למשל, גם אם נטיל קוביה שוב ושוב, עד שהקוביה נוחתת על שש. הסיכוי שהקוביה תנחת על שש בגלגול אחד שלה הוא שישית, או אחד-לשש. עכשיו, אם נשאל "כמה פעמים נצפה שנצטרך לזרוק את הקוביה עד שנקבל שש בפעם הראשונה?", התשובה היא "בערך שש פעמים".

ובאופן כללי יותר, אם אנחנו מנסים משהו שוב ושוב עד שאנחנו מצליחים, והסיכוי להצליח בפעם נתונה הוא "אחד ל-X" (למשל: אחד לחמישים ושש), אז נצטרך לעשות בערך X נסיונות בממוצע עד שנצליח בפעם הראשונה (באותה דוגמה: נצטרך בערך חמישים ושש נסיונות עד שנצליח). סבבה? סבבה.
מיטיבות הלכת ביניכן מזהות כמובן את הטענה מקורס מבוא להסתברות: התוחלת של משתנה גיאומטרי עם סיכוי הצלחה 1/n היא n. אבל אם הבנתם עד "סבבה", הכל סבבה.

ותיקות הבלוג כבר בטח רואות לאן אני חותר: נניח שלג'וניור טיפוסי יש סיכוי של אחד-לחמש לעבור ראיון עבודה. כמה ראיונות עבודה בערך הוא יצטרך לעשות? כמובן, בערך חמישה.

ועכשיו, נסבך את העלילה, ונשאל כמה ג'וניורים יצטרכו להתראיין בהרבה יותר מקומות, סתם בגלל שיש להם מזל רע? נניח, כמה ג'וניורים יכשלו בלפחות עשרה ראיונות? שימו לב: אני לא שואל "איזה אחוז מהג'וניורים הם משמעותית פחות טובים מהשאר" – לא. להיפך: אני מניח שכל הג'וניורים באשר הם טובים באותה מידה, ועוברים ראיון באותו סיכוי, אחד-לחמש. ועוד נשים לב שאני שואל "מבין הג'וניורים, שסיכמנו שכולם אותו דבר, כמה נדפקו ממש עם מזל רע וצריכים להתראיין ביותר מפי שתיים חברות מהצפוי?". כלומר, זה לא קצת מזל רע, טיפה לפה טיפה לשם. זה יותר מפי שתיים ראיונות מבאסים ממה שהיינו מצפים.

התשובה היא: בערך עשרה אחוז מהג'וניורים. קל לראות את זה גם אם אתם פחות זורמים עם הסתברויות: אם הסיכוי לעבור ראיון הוא אחד לחמש, כלומר עשרים אחוז, הסיכוי להיכשל בראיון הוא שמונים אחוז, או 0.8. מה הסיכוי להיכשל בעשרה ראיונות?

0.8 * 0.8 * … * 0.8 = 0.8¹⁰ = 0.1073 = 10%

אבל רגע, מי אמר שהסיכוי לעבור ראיון הוא אחד-לחמש? אולי הוא אחד-לעשר? התשובה, במפתיע, היא שזה לא משנה. אם הסיכוי לעבור ראיון הוא אחד-לעשר, אז בגדול נצפה שנצטרך בערך עשרה ראיונות בשביל להצליח. הסיכוי להיכשל בראיון מסוים הוא 0.9, והסיכוי שניכשל בעשרים הראיונות הראשונים הוא

0.9²⁰ = 0.1215 = 12%

והשוס הוא שהסיכוי עצמו כמעט לא משנה כאן – בהנחה שהסיכוי להצלחה קטן מרבע, זה לא משנה מה הסיכוי בדיוק, לפחות 10% מהאוכלוסיה יצטרכו לנסות יותר מפי שתיים פעמים מהצפוי, סתם בגלל שיש להם מזל רע!

למשל, אני מצרף פה טבלה עם סיכויי הצלחה עד אחד-לעשרים:

סיכוי במילים, אחד ל-	מזל ממש רע: פי שניים נסיונות	סיכוי הצלחה עשרוני	סיכוי כשלון עשרוני	סיכוי ליותר מפי שתיים נסיונות מהצפוי
2	4	0.50	0.50	6.25%
3	6	0.33	0.67	8.78%
4	8	0.25	0.75	10.01%
5	10	0.20	0.80	10.74%
6	12	0.17	0.83	11.22%
7	14	0.14	0.86	11.55%
8	16	0.13	0.88	11.81%
9	18	0.11	0.89	12.00%
10	20	0.10	0.90	12.16%
11	22	0.09	0.91	12.28%
12	24	0.08	0.92	12.39%
13	26	0.08	0.92	12.48%
14	28	0.07	0.93	12.56%
15	30	0.07	0.93	12.62%
16	32	0.06	0.94	12.68%
17	34	0.06	0.94	12.73%
18	36	0.06	0.94	12.77%
19	38	0.05	0.95	12.81%
20	40	0.05	0.95	12.85%

מיטיבות הלכת ביניכן בוודאי מזהות את הטענה המתמטית היפה שמתחבאת פה מאחורי הקלעים: אם יש לנו משתנה גיאומטרי עם סיכוי הצלחה 1/n, תוחלת מספר הנסיונות היא n. הסיכוי שנצטרך יותר מפי שתיים נסיונות מזה הוא בערך

(1 – 1/n)²ⁿ ≈ e^-2 = 0.1353

וזה נכון ללא תלות בערך הספציפי של סיכוי ההצלחה, כל עוד n>=4. וכן, אני מעגל 13% ל-10%, תתמודדו 🙂

עכשיו, במבט ראשון זאת נראית כמו טענה די יומיומית – כן, יש אנשים עם מזל רע, ידוע. אני רק לא בטוח שכולם מבינים של-10% מהאנשים יש מזל ממש ממש רע, ברמה שהם צריכים לעבוד פי שתיים יותר קשה מהצפוי. וזה נכון בכל תחום [2]: 10% מהג'וניורים יתבאסו ויחשבו שיש להם בעיה לעבור ראיון, או להשיג ראיון, כשבעצם מה שקרה זה סתם מזל רע. 10% מהדוקטורנטים יחשבו שיש להם בעיה רצינית לכתוב את המאמר הראשון שיתקבל לפרסום, כששוב, זה הכל מזל רע. תחשבו על זה: אם היו בעולם מטילי קוביות מקצועיים, 10% ממטילי הקוביות הג'וניורים היו חושבים שהם לא טובים בעבודה שלהם!

ואת התוצאה הזאת עוד הוכחנו עם הנחות מחמירות: ההגדרה שלנו ל'מזל רע' היא 'יותר מפי שתיים מאמץ ובאסה מהצפוי'. וכמו שאמרנו, כמות האנשים הזאת היא בעצם לפחות 12% ברוב המקרים, שזה יותר מ-10% [3]. מה קורה כששואלים למשל, מה הסיכוי להתאמץ 'רק' 50% יותר מהצפוי ומעלה? התשובה היא שבערך e^-1.5 = 22% מהאנשים יצטרכו לעשות את זה – כמעט רבע מהאנשים!

שימו לב שלא באמת צריך את ההנחה שסיכויי ההצלחה של כולם שווים. מספיק לעבור לשאלה 'מה כמות האנשים שיצטרכו להתאמץ יותר מפי שתיים ממה שצפוי עבורם אישית', ונקבל תשובה דומה.

אגב, אם שואלים כמה אנשים יצטרכו להתאמץ יותר מכמה שצפוי עבורם אישית – לא פי שתיים יותר, אפילו רק טיפה יותר – התשובה היא יותר משליש מהאנשים! [4]

X ~ Geom(p) => P(X > 1/p) = (1-p)^1/p ≈ e^-1 = 37%

המסקנה המתבקשת מהתרגיל המחשבתי הזה היא 'לא להתייאש', ובגלל שזה ברור ואת זה כולם אומרים, לא נראה לי שיש טעם להתעכב עליה.
המסקנה הפחות ברורה, אבל לטעמי יותר חשובה פה, היא שלא כל דבר מבאס שקורה לכם בחיים, קורה בגללכם, בטח כשמדובר בראיונות. Don't get me wrong: כדאי לעצור אחרי כל ראיון, לשאול מה הלך טוב ומה פחות טוב, ולנסות לשפר להבא. אבל ממש לא כדאי לקפוץ למסקנות לגבי הסיכוי שלכם להשתלב בתעשיה אחרי כל ראיון שלא הלך, ובטח ובטח שלא כדאי להגיע לקטעים של האשמה עצמית וכו'.

אמרנו בעבר, ונגיד שוב: ראיונות זה numbers game, וחלק מהזמן הסיכויים יפעלו שלא לטובתכם. נתראה בפוסט הבא, ועד אז may the odds be ever in your favour 🙂

 

[1] התגוננות מראש לדקדקנים מתמטיים סביב הניסוח הלא פורמלי: תוחלת = מה שמייחלים לו = מה שמצפים לו. גם באנגלית: Expected value.

[2] בכל תחום בו אפשר לטעון שהצלחה נראית בערך כמו הצלחה ראשונה בסדרת ניסויי ברנולי בלתי תלויים שווי-התפלגות עם סיכוי הצלחה 1/n, n>=4. בחיי, 15 שנה אחרי שנה א', ואני עדיין לחוץ שיורידו לי נקודות על חוסר פורמליות 🙂

[3] לצרכי הטענה הזו, ברוב המקרים <=> כשסיכוי ההצלחה הוא 1/n , ו-n>=9

[4] מהאנשים עבורם 0.14>p, ואם p לא מהצורה 1/n אז צריך לקחת את הערך השלם של 1/p במעריך. בודק יקר, אני פונה ללב שלך, נגמר לי הזמן במבחן להצדקות פורמליות, אנא גלה רחמים.